JavaScript BigInt Elliptische-Kurven-Kryptographie: Ein tiefer Einblick in fortgeschrittene Operationen

In einer Ära, die von digitaler Interaktion dominiert wird, von dezentralisierter Finanzierung (DeFi) bis hin zu Ende-zu-Ende-verschlüsselter Nachrichtenübermittlung, war die Stärke unserer kryptografischen Grundlagen noch nie so entscheidend. Die Elliptische-Kurven-Kryptographie (ECC) ist eine Säule der modernen Public-Key-Kryptographie und bietet robuste Sicherheit mit kleineren Schlüssellängen im Vergleich zu ihren Vorgängern wie RSA. Jahrelang war die direkte Durchführung dieser komplexen mathematischen Operationen in JavaScript eine Herausforderung, die oft spezielle Bibliotheken erforderte, die die Low-Level-Details abstrahierten oder sich mit den Einschränkungen des Standard-Zahlentyps von JavaScript befassten.

Die Einführung des nativen BigInt-Typs in JavaScript (ES2020) war ein revolutionärer Moment. Es befreite Entwickler von den Beschränkungen des 64-Bit-Gleitkomma-Number-Typs und bot einen Mechanismus zur Verarbeitung beliebig großer Ganzzahlen. Dieses einzelne Merkmal erschloss das Potenzial für performante, native und transparentere kryptografische Implementierungen direkt in JavaScript-Umgebungen wie Browsern und Node.js.

Während viele Entwickler mit den Grundlagen von ECC vertraut sind – Generierung von Schlüsselpaaren und Signieren von Nachrichten – liegt die wahre Stärke dieser Technologie in ihren fortgeschritteneren Operationen. Dieser Artikel geht über die Grundlagen hinaus, um anspruchsvolle kryptografische Protokolle und Techniken zu untersuchen, die dank BigInt jetzt zugänglich sind. Wir werden uns mit Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) für sicheren Schlüsselaustausch, Public-Key-Wiederherstellung aus Signaturen und den leistungsstarken, aggregationsfreundlichen Schnorr-Signaturen befassen.

Die BigInt-Revolution in der JavaScript-Kryptographie

Bevor wir uns mit fortgeschrittenen Operationen befassen, ist es wichtig zu verstehen, warum BigInt ein so großer Wendepunkt für die Kryptographie in JavaScript ist.

Das Problem mit dem `Number`-Typ

Der traditionelle Number-Typ von JavaScript ist eine IEEE 754-Doppelpräzisions-64-Bit-Gleitkommazahl. Dieses Format eignet sich hervorragend für eine Vielzahl von Anwendungen, hat aber eine entscheidende Einschränkung für die Kryptographie: Es kann nur Ganzzahlen bis zu Number.MAX_SAFE_INTEGER, also 2⁵³ - 1, sicher darstellen.

Kryptografische Schlüssel und Zwischenwerte in ECC sind weitaus größer. Beispielsweise arbeitet die beliebte Kurve secp256k1, die von Bitcoin und Ethereum verwendet wird, auf einem Feld von Primzahlen, die 256 Bit lang sind. Diese Zahlen sind um Größenordnungen größer als das, was der Standard-Number-Typ verarbeiten kann, ohne an Präzision zu verlieren. Der Versuch, Berechnungen mit solchen Zahlen durchzuführen, würde zu falschen und unsicheren Ergebnissen führen.

Enter `BigInt`: Ganzzahlen mit beliebiger Präzision

BigInt löst dieses Problem auf elegante Weise. Es ist ein eigener numerischer Typ, der eine Möglichkeit bietet, ganze Zahlen beliebiger Größe darzustellen. Sie können ein BigInt erstellen, indem Sie `n` an das Ende eines ganzzahligen Literals anhängen oder den Konstruktor BigInt() aufrufen.

Beispiel:

const aLargeNumber = 9007199254740991n; // Sicher mit BigInt
const anEvenLargerNumber = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663n; // Eine 256-Bit-Primzahl

Mit BigInt funktionieren alle Standard-Arithmetikoperatoren (+, -, *, /, %, **) wie erwartet mit diesen riesigen Ganzzahlen. Diese Fähigkeit ist das Fundament, auf dem native JavaScript-ECC-Implementierungen aufgebaut sind, und ermöglicht die direkte, präzise und sichere Berechnung kryptografischer Algorithmen, ohne auf externe WebAssembly-Module oder umständliche mehrteilige Zahlenbibliotheken angewiesen zu sein.

Eine Auffrischung der Grundlagen der Elliptische-Kurven-Kryptographie

Um die fortgeschrittenen Operationen zu würdigen, lassen Sie uns kurz die Kernkonzepte von ECC wiederholen.

Im Kern basiert ECC auf der algebraischen Struktur elliptischer Kurven über endlichen Körpern. Diese Kurven sind durch die Weierstrass-Gleichung definiert:

y² = x³ + ax + b (mod p)

Wobei `a` und `b` Konstanten sind, die die Form der Kurve definieren, und `p` eine große Primzahl ist, die den endlichen Körper definiert.

Schlüsselkonzepte

• Punkt auf der Kurve: Ein Koordinatenpaar (x, y), das die Kurvengleichung erfüllt. Alle unsere kryptografischen Operationen sind im Wesentlichen "Punktarithmetik".
• Basispunkt (G): Ein öffentlich bekannter, standardisierter Startpunkt auf der Kurve.
• Privater Schlüssel (d): Eine sehr große, kryptografisch sichere Zufallszahl. Dies ist Ihr Geheimnis. Im Kontext von BigInt ist `d` ein großes BigInt.
• Öffentlicher Schlüssel (Q): Ein Punkt auf der Kurve, der aus dem privaten Schlüssel und dem Basispunkt durch eine Operation namens Skalarmultiplikation abgeleitet wird: Q = d * G. Dies bedeutet, dass der Punkt G `d` Mal zu sich selbst addiert wird.

Die Sicherheit von ECC hängt vom Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem (ECDLP) ab. Es ist rechnerisch einfach, den öffentlichen Schlüssel `Q` zu berechnen, wenn der private Schlüssel `d` und der Basispunkt `G` gegeben sind. Es ist jedoch rechnerisch nicht möglich, den privaten Schlüssel `d` zu bestimmen, wenn nur der öffentliche Schlüssel `Q` und der Basispunkt `G` gegeben sind.

Fortgeschrittene Operation 1: Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) Schlüsselaustausch

Eine der leistungsstärksten Anwendungen von ECC ist die Einrichtung eines gemeinsamen Geheimnisses zwischen zwei Parteien über einen unsicheren Kommunikationskanal. Dies wird mit dem Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) Schlüsselaustauschprotokoll erreicht.

Das Ziel

Stellen Sie sich zwei Personen vor, Alice und Bob, die sicher kommunizieren möchten. Sie müssen sich auf einen symmetrischen Verschlüsselungsschlüssel einigen, den nur sie kennen, aber ihr einziges Kommunikationsmittel ist ein öffentlicher Kanal, den ein Lauscher, Eva, überwachen kann. ECDH ermöglicht es ihnen, ein identisches gemeinsames Geheimnis zu berechnen, ohne es jemals direkt zu übertragen.

Das Protokoll Schritt für Schritt

1. Schlüsselgenerierung:
   • Alice generiert ihren privaten Schlüssel, `d_A` (ein großes zufälliges BigInt), und ihren entsprechenden öffentlichen Schlüssel, `Q_A = d_A * G`.
   • Bob generiert seinen privaten Schlüssel, `d_B` (ein weiteres großes zufälliges BigInt), und seinen öffentlichen Schlüssel, `Q_B = d_B * G`.
2. Austausch öffentlicher Schlüssel:
   • Alice sendet ihren öffentlichen Schlüssel, `Q_A`, an Bob.
   • Bob sendet seinen öffentlichen Schlüssel, `Q_B`, an Alice.
   • Eva, die Lauscherin, kann sowohl `Q_A` als auch `Q_B` sehen, kann aber die privaten Schlüssel `d_A` oder `d_B` aufgrund des ECDLP nicht ableiten.
3. Berechnung des gemeinsamen Geheimnisses:
   • Alice nimmt Bobs öffentlichen Schlüssel `Q_B` und multipliziert ihn mit ihrem eigenen privaten Schlüssel `d_A`, um einen Punkt S zu erhalten: S = d_A * Q_B.
   • Bob nimmt Alices öffentlichen Schlüssel `Q_A` und multipliziert ihn mit seinem eigenen privaten Schlüssel `d_B`, um einen Punkt S zu erhalten: S = d_B * Q_A.

Die Magie der Kommutativität

Sowohl Alice als auch Bob gelangen zum genau gleichen geheimen Punkt `S` auf der Kurve. Dies liegt daran, dass die Skalarmultiplikation assoziativ und kommutativ ist:

Alices Berechnung: S = d_A * Q_B = d_A * (d_B * G)

Bobs Berechnung: S = d_B * Q_A = d_B * (d_A * G)

Da d_A * d_B * G = d_B * d_A * G, berechnen sie beide das gleiche Ergebnis, ohne jemals ihre privaten Schlüssel preiszugeben.

Vom gemeinsamen Punkt zum symmetrischen Schlüssel

Das resultierende gemeinsame Geheimnis `S` ist ein Punkt auf der Kurve, kein symmetrischer Schlüssel, der für Verschlüsselungsalgorithmen wie AES geeignet ist. Um einen Schlüssel abzuleiten, ist es üblich, die x-Koordinate des Punkts `S` zu nehmen und sie durch eine Key Derivation Function (KDF) zu leiten, z. B. HKDF (HMAC-basierte Key Derivation Function). Die KDF nimmt das gemeinsame Geheimnis und optional ein Salt und andere Informationen entgegen und erzeugt einen kryptografisch starken Schlüssel mit der gewünschten Länge.

Alle zugrunde liegenden Berechnungen – Generieren privater Schlüssel als zufällige `BigInt`s und Durchführen der Skalarmultiplikation – stützen sich stark auf die `BigInt`-Arithmetik.

Fortgeschrittene Operation 2: Public-Key-Wiederherstellung aus Signaturen

In vielen Systemen, insbesondere in Blockchains, sind Effizienz und Datenminimierung von größter Bedeutung. Um eine Signatur zu verifizieren, benötigen Sie in der Regel die Nachricht, die Signatur selbst und den öffentlichen Schlüssel des Signierenden. Eine clevere Eigenschaft des Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) ermöglicht es Ihnen jedoch, den öffentlichen Schlüssel direkt aus der Nachricht und der Signatur wiederherzustellen. Dies bedeutet, dass der öffentliche Schlüssel nicht übertragen werden muss, was wertvollen Speicherplatz spart.

Wie es funktioniert (High-Level)

Eine ECDSA-Signatur besteht aus zwei Komponenten, (`r`, `s`).

• `r` wird von der x-Koordinate eines zufälligen Punkts `k * G` abgeleitet.
• `s` wird basierend auf dem Message-Hash (`z`), dem privaten Schlüssel (`d`) und `r` berechnet. Die Formel lautet: `s = k_inverse * (z + r * d) mod n`, wobei `n` die Ordnung der Kurve ist.

Durch algebraische Manipulation der Signaturverifizierungsgleichung ist es möglich, einen Ausdruck für den öffentlichen Schlüssel `Q` abzuleiten. Dieser Prozess liefert jedoch zwei mögliche gültige öffentliche Schlüssel. Um diese Mehrdeutigkeit aufzulösen, wird ein kleines Stück zusätzlicher Information, die sogenannte Recovery ID (oft als `v` oder `recid` bezeichnet), in die Signatur aufgenommen. Diese ID, typischerweise 0, 1, 2 oder 3, gibt an, welche der möglichen Lösungen die richtige ist und ob die y-Koordinate des Schlüssels gerade oder ungerade ist.

Warum `BigInt` unerlässlich ist

Die für die Public-Key-Wiederherstellung erforderlichen mathematischen Operationen sind intensiv und umfassen modulare Inverse, Multiplikation und Addition von 256-Bit-Zahlen. Ein wichtiger Schritt ist beispielsweise die Berechnung von `(r_inverse * (s*k - z)) * G`. Diese Operationen sind genau das, wofür `BigInt` entwickelt wurde. Ohne sie wäre es unmöglich, diese Berechnungen in nativem JavaScript durchzuführen, ohne erhebliche Einbußen an Präzision und Sicherheit hinnehmen zu müssen.

Praktische Anwendung: Ethereum-Transaktionen

Diese Technik wird bekanntermaßen in Ethereum verwendet. Eine signierte Transaktion enthält nicht direkt die öffentliche Adresse des Absenders. Stattdessen wird die Adresse (die vom öffentlichen Schlüssel abgeleitet wird) aus den Komponenten `v`, `r` und `s` der Signatur wiederhergestellt. Diese Designentscheidung spart 20 Bytes bei jeder einzelnen Transaktion, eine erhebliche Einsparung im Maßstab einer globalen Blockchain.

Fortgeschrittene Operation 3: Schnorr-Signaturen und Aggregation

Während ECDSA weit verbreitet ist, hat es bestimmte Nachteile, darunter die Verformbarkeit der Signatur und das Fehlen von Aggregationseigenschaften. Schnorr-Signaturen, ein weiteres ECC-basiertes Schema, bieten elegante Lösungen für diese Probleme und werden von vielen Kryptographen als überlegen angesehen.

Hauptvorteile von Schnorr-Signaturen

• Nachweisbare Sicherheit: Sie haben einen einfacheren und robusteren Sicherheitsnachweis im Vergleich zu ECDSA.
• Nicht-Verformbarkeit: Es ist für einen Dritten nicht möglich, eine gültige Signatur in eine andere gültige Signatur für dieselbe Nachricht und denselben Schlüssel zu ändern.
• Linearität (Die Superkraft): Dies ist der wichtigste Vorteil. Schnorr-Signaturen sind linear, was leistungsstarke Aggregationstechniken ermöglicht.

Signaturaggregation erklärt

Die Linearitätseigenschaft bedeutet, dass mehrere Signaturen von mehreren Signierern zu einer einzigen, kompakten Signatur zusammengefasst werden können. Dies ist ein Wendepunkt für Multi-Signatur-Schemata (Multisig).

Stellen Sie sich ein Szenario vor, in dem eine Transaktion Signaturen von 3 von 5 Teilnehmern erfordert. Mit ECDSA müssten Sie alle drei einzelnen Signaturen in die Blockchain aufnehmen, was viel Speicherplatz beansprucht.

Mit Schnorr-Signaturen ist der Prozess viel effizienter:

1. Schlüsselaggregation: Die 3 Teilnehmer können ihre einzelnen öffentlichen Schlüssel (`Q1`, `Q2`, `Q3`) kombinieren, um einen einzigen aggregierten öffentlichen Schlüssel (`Q_agg`) zu erstellen.
2. Signaturaggregation: Durch ein kollaboratives Protokoll wie MuSig2 können die Teilnehmer eine einzige aggregierte Signatur (`S_agg`) erstellen, die für den aggregierten öffentlichen Schlüssel `Q_agg` gültig ist.

Das Ergebnis ist eine Transaktion, die von außen wie eine Standardtransaktion mit einem einzigen Signierer aussieht. Sie hat einen öffentlichen Schlüssel und eine Signatur. Dies verbessert die Effizienz, Skalierbarkeit und Privatsphäre erheblich, da komplexe Multisig-Setups nicht mehr von einfachen zu unterscheiden sind.

Die Rolle von `BigInt`

Die Magie der Aggregation wurzelt in der einfachen Addition elliptischer Kurvenpunkte und der Skalararithmetik. Das Erstellen des aggregierten Schlüssels umfasst `Q_agg = Q1 + Q2 + Q3`, und das Erstellen der aggregierten Signatur umfasst das Addieren der einzelnen Signaturkomponenten modulo der Kurvenordnung. Alle diese Operationen – die die Grundlage von Protokollen wie MuSig2 bilden – werden an großen Ganzzahlen und Kurvenkoordinaten durchgeführt, was `BigInt` zu einem unverzichtbaren Werkzeug für die Implementierung von Schnorr-Signaturen und Aggregationsschemata in JavaScript macht.

Implementierungsüberlegungen und bewährte Sicherheitsverfahren

Während `BigInt` uns in die Lage versetzt, diese fortgeschrittenen Operationen zu verstehen und zu implementieren, ist der Aufbau von Kryptographie in Produktionsqualität eine gefährliche Aufgabe. Hier sind einige wichtige Überlegungen.

1. Entwickeln Sie KEINE eigene Krypto für die Produktion

Dieser Artikel zielt darauf ab, die zugrunde liegenden Mechanismen zu erläutern und zu veranschaulichen. Sie sollten niemals diese kryptografischen Grundelemente von Grund auf für eine Produktionsanwendung implementieren. Verwenden Sie gut geprüfte, überprüfte und von Experten begutachtete Bibliotheken wie `noble-curves`. Diese Bibliotheken wurden von Experten speziell für diesen Zweck entwickelt und berücksichtigen zahlreiche subtile, aber kritische Sicherheitsprobleme.

2. Constant-Time-Operationen und Side-Channel-Angriffe

Eine der gefährlichsten Fallstricke ist der Side-Channel-Angriff. Ein Angreifer kann nicht-funktionale Aspekte eines Systems analysieren – wie z. B. den Stromverbrauch oder die genaue Zeit, die eine Operation benötigt – um Informationen über geheime Schlüssel preiszugeben. Wenn beispielsweise eine Multiplikation mit einem '1'-Bit im Schlüssel etwas länger dauert als mit einem '0'-Bit, kann ein Angreifer den Schlüssel rekonstruieren, indem er Timing-Variationen beobachtet.

Standard-BigInt-Operationen in JavaScript sind nicht Constant-Time. Ihre Ausführungszeit kann vom Wert der Operanden abhängen. Professionelle kryptografische Bibliotheken verwenden hochspezialisierte Algorithmen, um sicherzustellen, dass alle Operationen, die private Schlüssel beinhalten, eine konstante Zeit dauern, unabhängig vom Wert des Schlüssels, wodurch diese Bedrohung gemildert wird.

3. Sichere Zufallszahlengenerierung

Die Sicherheit jedes kryptografischen Systems beginnt mit der Qualität seiner Zufälligkeit. Private Schlüssel müssen mit einem kryptografisch sicheren Pseudo-Zufallszahlengenerator (CSPRNG) generiert werden. Verwenden Sie in JavaScript-Umgebungen immer die integrierten APIs:

• Browser: crypto.getRandomValues()
• Node.js: crypto.randomBytes()

Verwenden Sie niemals Math.random() für kryptografische Zwecke, da es nicht dafür ausgelegt ist, unvorhersehbar zu sein.

4. Domainparameter- und Public-Key-Validierung

Beim Empfang eines öffentlichen Schlüssels von einer externen Quelle ist es wichtig, ihn zu validieren. Ein Angreifer könnte einen bösartigen Punkt bereitstellen, der sich nicht tatsächlich auf der angegebenen elliptischen Kurve befindet, was zu Angriffen führen könnte, die Ihren privaten Schlüssel während des ECDH-Schlüsselaustauschs offenlegen (z. B. Invalid Curve Attacks). Seriöse Bibliotheken behandeln diese Validierung automatisch.

Fazit

Die Ankunft von `BigInt` hat die Landschaft der Kryptographie innerhalb des JavaScript-Ökosystems grundlegend verändert. Es hat ECC aus dem Bereich undurchsichtiger Blackbox-Bibliotheken in etwas verwandelt, das nativ implementiert und verstanden werden kann, wodurch eine neue Ebene der Transparenz und Fähigkeit gefördert wird.

Wir haben untersucht, wie dieses einzelne Merkmal fortgeschrittene und leistungsstarke kryptografische Operationen ermöglicht, die für moderne sichere Systeme von zentraler Bedeutung sind:

• ECDH-Schlüsselaustausch: Die Grundlage für die Einrichtung sicherer Kommunikationskanäle.
• Public-Key-Wiederherstellung: Eine effizienzsteigernde Technik, die für skalierbare Systeme wie Blockchains entscheidend ist.
• Schnorr-Signaturen: Ein Signaturschema der nächsten Generation, das durch Aggregation überlegene Effizienz, Privatsphäre und Skalierbarkeit bietet.

Als Entwickler und Architekten ist das Verständnis dieser fortgeschrittenen Konzepte nicht mehr nur eine akademische Übung. Sie werden heute in globalen Systemen eingesetzt, vom Taproot-Upgrade in Bitcoin bis hin zu den sicheren Messaging-Protokollen, die unsere täglichen Gespräche schützen. Während die endgültige Implementierung immer von geprüften, von Experten begutachteten Bibliotheken übernommen werden sollte, ermöglicht ein tiefes Verständnis der Mechaniken, das durch Tools wie `BigInt` ermöglicht wird, uns, sicherere, effizientere und innovativere Anwendungen für ein globales Publikum zu erstellen.